상대방 힘을 빗겨 나가게 하거나 되돌려 타격한다는 무협소설의 태극권(太極拳), UFO 움직임이 원심력에 영향을 거의 받지 않았다는 목격들 등, 우리가 알고 있는 물리법칙의 힘을 소멸시키거나 바꾸는 황당하게 들리는 현상들에 대한 얘기를 하고자 한다.
이 현상들이 아주 황당하지만은 않을 수 있다는 것을, 우리에게 익숙한 세차운동을(precession) 들여다 봄으로써 풀어 보고자 한다. 구체적으로 말해서,

(1) 회전하는 팽이의 세차운동을 가능케 하는 힘과 중력의 관계에 대한 파인만의 분석방법과
(2) 갈릴레이, 아인슈타인의 사고실험(thought experiment)의 맥락으로 보면,

세차운동은 중력의 방향을 바꾼 결과로 볼 수 있고, 나아가 힘의 방향을 바꿀 수 있는 가능성을 엿볼 수 있다는 거다.
이야기를 쉽게 풀어가기 위하여 먼저 선배 과학자들의 사고실험의 관찰•직관에 대한 얘기부터 시작하자.

1. 사고실험

(1) 갈릴레이: 관성실험 ⇨ $F=\frac{dmv}{dt}$

갈릴레이는 오른쪽 그림들과 같은 마찰을 최소한 곳에서 공 굴리는 실험하였는데, 왼쪽 경사 높이($h$)에서 공을 자연스럽게 놓는 경우, 오른쪽 경사의 기울기에 관계없이 항상 같은 높이 $h$에 도달한다는 것을 관찰.
그리고는 세번째 그림과 같이 오른쪽에 경사가 없는 경우에는 도달할 높이가 없으므로 무한정 굴러갈 수 밖에 없다는 결론을 내렸다고 한다. 즉 구르기 시작한 공은, 힘을(마찰과 같은 저항) 받지 않는 한, 영원히 구른다는 관성의 법칙을 세움.

(2) 아인슈타인: missing link 발견
로켓안의 사람은, 로켓 뒤에 큰 질량의 지구가 있을 때와 가속 추진하는 로켓의 차이를 구별할 수 없다는 사실로 부터(아래 그림1), 중력은 가속도의 로켓에 같은 효과를 준다는 결론에 도달했다.
그리고는 가속도의 로켓 천장 구멍을 통과한 빛이 구부러질 수 밖에 없는 사실로 부터(아래 그림2), 가속도와 같은 효과를 같는 중력의 혹성 근처를 등속으로 지나는 로켓 천장 구멍을 통과하는 빛도 구부러질 수 밖에 없기에 만류인력 법칙에 의하여 '빛은 질량을 갖는다'는 결론 내림.

그림1: 가속도로 나는 로켓속이나 지구 위에 있는 로켓속 사람이 느끼는 효과는 같다

그림2: 로켓안으로 들어오는 빛을 보는 관측자 등속 가속

위와 같은 생각의 흐름으로 회전팽이의 움직임을 보자.

2. 회전팽이의 세차 운동을 가능케 하는 힘에 대하여

팽이의 각점에서의 힘은 vector $d$ 와 vector $L$로 이루어진 평면에 수직이고 그 힘을 모두 더하면, 아래 그림과 같이 무게중심에서 가해지는 $F$ 로 표현된다.

여기서 위1의 사고 흐름을 따르면, 중력 $G$가 힘 $F$ 를 제공, 즉 방향을 바꾼 힘으로 나타난 것. 다시 말해서, 바닥으로 잡아당기는 중력이 중력과 수직인 방향의 힘으로 바뀐 거.

그리고 세차운동을 시작하는 순간 팽이를 $z$축 방향으로 미는 힘을 생성시킨다.
팽이처럼 고체는(rigid body) 아니지만, 돌개바람의(tornado) 움직임도 이러한 맥락으로 이해할 수 있다 - 2019.4.26

위인전과 수업 중 들은 과학자들 얘기에 가슴이 뛰던 어린 시절, 중고교 대학을 거치며
시험에 쫓겨 외우면서 어떻게 저런 생각을 할 수 있었을까? 초기조건의 미분방정식 해는 유일, 시간과 거리의 관계 등 그렇게 결론 내릴 밖에 없는 실마리 내지 과정이 있어야 한다... 아니면 번득이는 특별한 재능이 있어야만 하나?
60 넘어 운 좋게도, 쑤셔 넣기만 했던 지식을 돌아볼 기회가 왔다.
단순한 결과나 설익은 용어들만 줏어 섬기는 것이 아닌, 어떠한 과정으로 선배 과학자들이 그런 절묘한 결론에 도달하게 되었는가하는 직관, 통찰의 실마리에 대하여. 죽을 때까지 맨날 남의 연습 문제나 풀고 있을 수 있나? 크던 작던 선배들의 방법을 체득하여 자신만의 작품을 만들어 봐야 하지 않겠는가 말이다.

(1) 초기조건의 미분방정식 해는 유일: 유클리드(Euclid)의 제5공리, '한 직선 밖의 한 점을 지나면서 평행을 이루는 직선은 오직 하나이다'으로부터 '한 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선'이 초기조건.
미분방정식은 각각의 단계에서 방향을 정해준 식으로 특히 그 각각의 단계가 무한히 작은 단계인 것. 그 반면 마르코프 체인은(Markov chain) 그 각각의 단계가 흩어져(discrete) 있고 가능한 방향이 여러 개라는 것. 하여 무한소의 특별한 경우에, Markov chain는 미분방정식으로 나타나다.
(2) 시간과 거리의 관계: 해가 동쪽에서 떠서 서쪽으로 지는 그 기간과 그 거리, 갈릴레이의 관찰 => 피사 천장에 달린 진자가 왔다갔다하는 시간과 맥박의 일치
(3) 경제학, 정치학 등 인문 과학에서 나오는 1-2차 수식들:
관심 대상이 몇개의 변수와 관련있다는 것을 수식으로 표현하면 $y=f(x_1,x_2...)$. 그리고 웬만한 함수들은 테일러 급수(Taylor series)로 표시할 수 있고 3제곱, 4제곱 이상은 계산도 복잡하고 귀찮으니 근사식 $y=a_0+a_1x_1+a_2x_2...$ 에서 출발하여 계수들 $a_i$ 조정하는 것.
(4) 생명, 소멸 관련 Euler 상수, e(Poisson):
방사성 붕괴에서 기인한 것으로 어떠한 물질의 양이 초기값의 절반이 되는데 걸리는 시간을(반감기) 표현하는 미분방정식 \begin{equation} \frac{dS}{dt}=-\frac12S \end{equation}

으로부터 나온다. => 빠져 나가는 '기'(엔트로피, S) 비율은 기 전체에 비례.
일반적으로 모든 것의 변화는 기존 상태에 more or less 비례하여 초기 상태에서 현 상태까지의 변화들을 더하면, 즉 적분하면, 자연스럽게 Euler 상수 $e$가 튀어 나온다. 예: 기체 갯수

* Transform(전환식; 표현들, 즉 representations 사이의 관계식)에 대하여

같은 실험을 다른 장소에 있는 사람들이 실행한다고 할 때, 그들이 사용하는 좌표계는 다를 수 밖에 없지만 결과는 같아야 한다. 따라서, 두 좌표계 사이의 관련식 즉 변/전환식에 의한 불변성은(invariant) 중요하다.
실생활의 예를 들면, 파운드를(lb) 사용하는 미국과 킬로를(kg) 사용하는 한국이 무역할 경우, 같은 무게임을 확인(invariant)할 수 있는 파운드를 킬로로 전환하는 식이 중요할 수 밖에 없듯이. 또 다른 예는 같은 온도를 표현하기 위한, 화씨를 섭씨로 전환하는 $C=\frac{F-32}{1.8}$ $C, F$ 섭씨 화씨

선형대수학에서 함수를 matrix로 표현할(represent) 때, base 선택 변화에 따른 matrix사이에 전환식이 있다. 이 경우, base가 위 좌표계에 해당.

representation(표현)에게는 어떤 기준 설정이 필수, 선형대수의 함수를 표현할 때 base가 필요하고 일상생활에서 언급하는 키, 몸무게, 혈압 등도 숫자로의 표현함에 있어 길이, 무게, 압력의 단위가 필수적이듯이. 함수 공간에 정의된 linear functional의 경우, x위치에 1이라는 벡터들이 기저로서 그 linear functionl의 표현은 함수로 표현할 수 있다는 것이 Riesz representation 정리. discrete linear functional의 representationd이 벡터인 반면, continuous linear functional의 경우, 표현이 함수로 나타난나는 것.
한글구문분석프로그램도 '구조단어'라는 representation과 그 표현 사이의 관계설정(relation, 사전)을 토대로 만들어진 프로그램.

* Fourier transform
$F(f)(s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi{i}st}f(t)dt$는 연속연립식(continuous linear combination), 적분은 덧셈이니.

공학, 응용수학 등에서 함수, $f$ 의 프리에 전환(Fourier transform), $F(f)$이 쓸모있는 이유

1. $f\rightarrow F(f)$ 은 linear고, 적절한 함수들 집합에서($L^2$, Schwartz space 등) one to one& onto.

2. 분석해야 할 것은 실험 자료(data)들이고 도구는 인류 최고의 발명 미적분. 문제는 그 자료들이 연속이 아닌 제각각 떨어져 있고(discrete) 그러한 자료에 미분을 적용할 경우 그 오차를 감당할 수 없다는 것. 헌데 다행스럽게도
프리에 전환하게되면 얘기가 달라진다. 부분 적분(integration by parts)에 의해 도함수의 프리에 전환은 프리에전환 함수와 다항식의 곱으로 나타난다는 것, 아래 *. \begin{equation} F(\frac{df}{dt})(\xi)=\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi{i}{\xi}t}\frac{df}{dt}dt= e^{-2\pi{i}{\xi}t}f(t)\Biggr|_{t=-\infty}^{\infty}-\int_{\infty}^{-\infty}-2{\pi}{i}{\xi}e^{-2\pi{i}\xi{t}}f(t)dt=-2\pi{i}{\xi}F(f)(\xi)\cdot\cdot\cdot* \\f는\, 양쪽\, 무한대에서\, 0인\, 함수 \end{equation}

프리에 전환 것들로 미적분하며 가지고 놀고난 후, 역프리에 전환(inverse Fourier transform)한다는 거다.

3. 그리고 연구에 자주 등장하는 입자들은(X-ray 등) 파동이고 그 것들은 Fourier series로 표현 가능

4. Fourier series와 Fourier transform
북반구 해가 동쪽에서 서쪽으로 기울고 일상 대부분이 반복적 일과들 모임이듯이, 대부분의 함수들은 주기적인 함수들의 급수로 표시된다. 하여 \begin{equation} T>0에\, 대하여,\, x\in [\frac{-T}2, \frac{T}2] \Rightarrow f(x)=\sum_{m=-\infty}^\infty c_m e^{{2\pi{i}{\frac{m}{T}}}x}, \,그\, 밖의\, x\, 에\, 대하여는\, f =0이라고\, 하면, \\ \int_{\frac{-T}2}^{\frac{T}2} f(x)e^{{-2\pi{i}{\frac{n}{T}}}x} dx= \int_{\frac{-T}2}^{\frac{T}2} (\sum_{m=-\infty}^\infty c_n e^{{2\pi{i}{\frac{m}{T}}}x}) e^{{-2\pi{i}{\frac{n}{T}}}x} dx = \int_{\frac{-T}2}^{\frac{T}2} c_n dx=c_nT \\ \Rightarrow c_n=\frac1T \int_{\frac{-T}2}^{\frac{T}2} f(x)e^{{-2\pi{i}{\frac{n}{T}}}x} dx =\frac1T F(f)(\frac nT),\, and\, f(x) = \sum_{m=-\infty}^\infty \frac1T F(f)(\frac mT) e^{{2\pi{i}{\frac{m}{T}}}x} \end{equation}

마지막 식을 들여다 보면,
\begin{equation} F(f)(s)e^{2\pi isx}\, 아래\, 부분의\, 직사각형(밑변 \frac1T,\, 높이\, F(f)(\frac nT)e^{2\pi (\frac nT)x} 면적들\, 총합, \\즉\, 리만썸이라는 것.\, 따라서 \,T → ∞, \, =>\, f(x)=\int_{n=-\infty}^{\infty} F(f)(ξ) e^{2\pi{i}\xi x} d\xi \end{equation}

* 미적분 얘기가 나온 김에...
(1) 차이의 정도를 나타내는 표준편차(standard deviation), 최소제곱법(least square method)에서 2라는 숫자.
차이의 정도를 표시하고자 하는데, 왜 절대값을 사용하지 않는가? 그리고 2가 아닌 4나 6은 안 되는가?
그것은 2가 미분가능한 최소의 숫자이기 때문.
미적분이라는 유용한 도구를 개발한 인간은 그걸 활용할 수 있는 효율적인 방향으로 학문과 이론을 발전시켜왔다는 것.
(2) 미적분 교과서에서 회전체의 체적(volume), 표면적(surface area) 근사접근 도형이 다른 이유
체적 계산할 때는 직사각형, 표면적을 계산할 때는 사다리꼴을 근사도형으로 회전시키고 그것들 합의 극한을 체적, 표면적이라고 정의한다. 왜? 다른 도형을 사용할까?
사다리꼴 접근이 제대로된 근사 접근 방법이다. 헌데 체적 극한의 경우 사다리꼴과 직사각형 접근방법 계산에 차이가 없기 때문이다. 사다리꼴보다 직사각형이 단순하고 계산이 간단하기에 어리석은 학생들의 공포심을 덜어주기 위한 것.

* Newton Method ⇨ Complete, Compact Space

(1) 방정식, 특히 중요한 편미분방정식(Laplace, wave, heat equation 등 partial differential equation) 해법 연구를 위해 발버둥 친 결과, 원시적인듯 보이지만 직관적이고 가장 효과적인 것은 뉴튼 방법과(아래 그림) 같이 접근하는 수열을 만드는 것.

수식으로 표현할 수 없는 $f(x)=0$의 해에 접근하는 수열 $x_{n+1}=x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $ 만드는 방법과 그 수열 극한 $lim_{n\rightarrow\infty}x_n$ 이 해라는 것을 보여주는 뉴튼 방법.

2023.7.27: 뉴튼 방법의 의미는 그 되풀이에(iteration) 있다. 그 되풀이는 수렴하는 fixed point를 찾아내는데... 평형, equillibrium => 블랙박스 문제
(2) 인간이 생각해낸 함수는 polynomial, $\sin, \cos, \log $, 그리고 step function 등 몇 개 되지 않는데, 다루어야 할 함수는 무수히 많다. 하여 생각한 방법이 다항식이나(Taylor series) 사인, 코사인 함수의 급수로(Fourier series) 표현되는가에 대한 연구로 방향을 잡으니 나오는 것들이 함수 수열들....

그러다가 떠오른 문제: 해가 될 가능성 많은 (수열의) 그 극한 함수가 작업하고 있는 자체 영역 공간에 존재하느냐는 것. 예를 들면, 기존 함수의 극한인 Dirac delta function은 기존 함수가 아닌 generalized function(또는 distribution)이라고 불리는 별종. 수학자들에게는 호재의 논문거리 연구 대상이 아닐 수 없다.
그래서 나온 개념들이 Cauchy sequence의 극한 존재 공간을 complete space, 항상 극한 존재하는 compact space, sequentially compact 뭐니 유사 정의 등. 정작 중요한 미분방정식 해는 구하지 못하고 빠진 샛길 연구.

* Riemannian metric
흔히 사람들은 학문 발전과 현실 상황을 전혀 다른 동 떨어진 것으로 생각한다, 특히 조선인들은. 그렇지 않음이 마이켈슨-몰리 실험과 그에 따른 상대성이론 발달사에서 드러났음에도 불구하고. 가우스(K. Gauss)는 하노버 도시 측량하는 중에 유클리드 기학이 적용할 수 없음을 알게 되고 실용 기하(즉, 비유클리드 기하학) 연구를 하게 되었다.

자를 가진 사람이 적도에서 북극으로 여행한다고 하자. 지역에 따라 기온 차이가 다르니 눈으로 인식하지 못하겠지만 지니고 있는 자가 '늘어났다 줄어들었다' 할 것. 즉 지구의 각 위치에 따라 자의 길이가 변화한다. 그를 수학적으로 표현하면 위치에 따라 변하는 기준자(norm), 헌데 norm은 표준 편차, 최소제곱와 달리, 미분 불가능하기에 내적(inner product)으로 표현한 것이 리만의 자.
무한소적으로(infinitesimally)으로 얘기하면, 각 점마다의 접평면(tangent plane)위에 정의된 내적.

출처: Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854, by B. Riemann

* 드브로이 물질파, 특수한 경우의 일반화

빛 입자(photon)의 파장, 진동수, 모멘텀, 프랑크 상수, 빛의 속도를 각각 $λ, ν, p, h, c$, 라고 하면, 그 에너지 $E$는 $E=pc, E=h\nu, c=\lambda \nu $ 라고 나타낼 수 있고, $p$ 와 $λ$ 의 관계식 \begin{equation} p=\frac{h}{λ} \end{equation}

을 얻는다. 드브로이가 한 것은 모멘텀 $p$ 대신에 '모멘텀 정의' 즉, $mv$ 를 대입한 것. 즉 빛 입자의 특수한 관계식을 일반 입자에까지 확장 적용하며 물질파라는 개념을 제시한 것. 특별한 경우를 연구, 발견된 성질이나 관계식을 일반적으로 확장적용한 성공적인 경우가 드브로이의 발견.
이런 과감한 드브로이 발상은 수학에서는 흔히 볼 수 있다. 널리 응용되는 예중 하나가 벡터 공간(vector space).
크기와 방향을 갖는 벡터는 화살표로 표시되고 내적(inner product)을 갖추고 몇가지 특질들을 가지고 있다. 여기에서 크기와 방향의 구체적 화살과 같은 구체적 그림을 그릴 수 없더라도 내적과 본질적인 몇가지 성질들...그것들만 가진 모든 추상적(abstract) 공간을 베터공간이라고 정의(예: 함수들 집합).
=> 다른 예들

* Quantum Mechanical Model on Decision Making- 2019.9.12

꿈보다 해몽
1. 원자는 진동체(oscillator)이므로 모든 물질은 진동체들의 집합체. 인간의 섬세한 각각의 '일시적' 감정을(emotion) 표현하는 각 단위를(또는 같은 '감정 표현단위'들의 뭉침) 하나의 진동체라고 가정하면,

(1) 각 oscillator는 고유의 '공명 진동수(주파수)'(resonance frequency)를 갖는다. 수식으로 설명하면, 아래 진동식에서(forced oscillator, 즉 외부의 영향이 있는 경우) \begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx={F_0}\cos\omega t, \,외부에서 \,작용하는\, 힘\, 또는\, 영향력 \end{equation}

x의 진폭은 $ω$가 $ω_0$(= $\sqrt{\frac{k}{m}}$, 공명 진동수) 에 아주 가까울 경우에만 두드러지게 커진다는 얘기다(참조 [1]). 따라서, 인간의 특정한 감정을 일으키려면 공명 진동수와 아주 근접한 자극을 주어야 한다, 비유하자면, 특정 주파수에 고정된 라디오는 특정 주파수의 방송국만 청취할 수 있다는 것.

(2) 어떤 사건에 대하여 인간이 느끼는 감정은, 대부분의 경우, 단순치 않은 여러 감정이 얽혀 복잡하다. 그 것은 다음과 같이 설명할 수 있다.
어떤 사건은 외부의 영향/힘이 일반적인 함수 $F$ 인 경우고...
(가) 위 1의 미분방정식은 선형(linear)이고,
(나) $F$ 는 $\cos, \sin$ 함수들로 분해될 수 있다는 것
(다) 그리고 위 1에서의 '공명 진동수 근처에서만 영향이 크다'는 것으로 부터
(라) 근사해(approximate solution)는 cosine 함수가 외부의 영향/힘인 위 1과 같은 방정식의 해들의 합이니(superposition)...
여러 진동체들의 공명의 합이 바로 복잡한 감정으로 나타나는 것으로 채널을 고정한 라디어 여러대를 동시에 듣는 것과 같다.

2. 전자기장내 암모니아 분자 에너지 변화(energy transition of an ammonia molecule through an electric field)와 인간의 생각 전환

(1) 암모니아 분자 상태는 오로지 'I, II ' 2개 상태의 선형조합(linear combination) 경우 밖에 없다고 가정하고(이를 two-state system이라 한다).
(2) 분자가 상태 I, II 로 전환할 확률을 각각 C_I , C_II 라 하고,
(3) 전기장(electrice field) ε을 가하면,
해밀토니안 방정식(Hamiltonian equation)이라 불리는 C_I , C_II의 관계식은 다음과 같이 주어진다. \begin{equation} i\hbar\,\frac{d{{C_{I}}}}{dt}= (E_0+A)C_I+\mu\epsilon C_{II} \\ i\hbar\,\frac{d{C_{II}}}{dt}= (E_0-A)C_{II}+\mu\epsilon C_{I}.\\ where \,E_I=E_0+\sqrt{A^2+\mu^2\epsilon^2},\, E_{II}=E_0-\sqrt{A^2+\mu^2\epsilon^2} \,\,stationary\, states\, I, \,II에서의\, definite\, energy;\, \\ \epsilon=2\epsilon_0cos(wt),\, 2A=E_I-E_{II}=hw_0; \,\mu=분자의\, dipole moment \end{equation}

일정기간(T) 사이에 상태 I 에서 II 로 바뀌는 '대충' 확률은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태인 \begin{equation} \biggl[\frac{\mu\epsilon_0T}{\hbar}\biggr]^2 \,\frac{\sin^2[(\omega-\omega_0)T/2]} {[(\omega-\omega_0)T/2]^2}. \end{equation}

또 다시 눈여겨볼 것은 전자장의 진동수 ω가 ω₀(resonance frequency)에 아주 근접해야만 상태 전환 가능성이 커진다는 것(자세한 것은 참조 [2]).

(4) 생각의 구체화
(3)의 결과와 '감정을 진동체의 폭주'로 간주한 위 1 가설과 일관성 있게 하기 위하여,
생각을 '연결된 2개의 진동체의 안정된 운동'(coupled stationary movement/motion)으로 보는 것. 상태 I, II 를 안정된 운동과 뚜렷 에너지를 갖는 평형상태를 유지하고 있는 인간의 생각 상태로 보자는 거다.
그러면 결과(4)는 그 평형상태는 쉽게 다른 평형상태로 바뀌지 않는다는 것, 선입견(prejudice), 즉 일단 주입된 생각은(I 또는 II) 좀처럼 바뀌지 않는다는 인간 상식을 보여준 것이다.
더 나아가, 연결된 n개 진동체들의 안정된 운동이(습관성 움직임) 생각. coupled stationary motion 내지 inertialized motion 예: coupled pendulum

(5) 양자 컴퓨터 비트(quantum computer bit)에 대하여 언뜻 든 생각(2019.10.14)
일정 에너지를 갖는 안정된 운동 상태들(state of stationary motions with a definite energy E)을 양자비트로 사용하자는 것.
예를 들어, 어떤 분자의 일정 에너지를 갖는 안정 운동상태가 10개라(E1, E2,....E10) 하면
right frequency의 전자기장을 걸던 wave를 쏘든 간에
에너지 상태를 마음대로 전환(definite energy state transition, En <=>Em)할 수 있는 기술이 개발가능 내지 이미 되어 있다면,
E1 ..... E10으로 십진법의(decimal system) 양자컴퓨터가 실현될 거라는 얘기.

3. Topological view of a molecule에 덧붙여.
1. 항상 떨고 있는 분자들인 수많은 효소들이 아주 정확하게 '붙었다, 떨어졌다'를 반복하며 생명체내의 신호 전달하는 사실에 위 가설을 적용하면, 각 효소에게는 특정한 진동수에만 반응하는 진동체 역할하는 부분이 존재할 수 밖에 없다는 것과 그 반응 가능 진동수 범위가 극히 좁기에 효소의 정확성이 높다는 것은 자연스럽게 나오는 결론.
2. 공명(resonance) 아이디어는 특정한 세포에만 도달하는 약 개발에 응용 가능하다. 예를 들어, 암세포와 정상세포가 다르니 방출하는 전자파도 다를 수 밖에 없다(참조: [3]). 암세포의 전자파에만 활성화하는 화학 물질을 약에 붙인다는 것.

참고 문헌
[1] 파인만 강의 I, chapter 23-25
[2] 파인만 강의 III, 9-13
[3] 파인만 강의 I, 28-4

* 인간들 의견 차이는 도플러 효과(Doppler effect) - 2019.11.23(파인만 강의 I, 34-6)

도플러 효과는 광/음원의 빛 또는 소리를 감지하는 관측자의 움직임에 따라 달라지는 현상을 말한다.
'특수한 경우를 일반화하는 자연과학 방법론'에 따라, 도플러 효과를 시/청각을 넘어 인간의 다른 감각 인지 기관들에게까지 일반화 시켜보자. 예를 들어,

특수한 경우(기존의 도플러 효과)	일반화
광/음원	사건 또는 현상 등
단순 움직임의 '시/청각 및 인지 기관'	stationary motion의 모든 감각 및 인지 기관들의 집합체

로 일반화한다면, 같은 사건, 현상 등이 도플러 효과에 의해 관측자 인식이 달라지고(* 진동수가 다른 빛, 소리를 접하듯, 엄밀하게 말하면 다른 정보를 받는다) 그에 따라 관측자의 의견이 제각각 다를 수 있다는 얘기다. (* 파인만 강의 I, 16장: 관측자 운동에 따른 질량 변화)

* 도플러 효과 일반화에서 도출되는 결과들:
1. 모두의 의견이 똑같은 값어치를 갖는 건 아니다. 도플러 효과로 자신이 듣는 소리와 다른 사람에게 들리는 소리가 다를 수 있다는 것을 인정하는 사람의 의견이 자신귀에 들리는 소리만 인식하는 인간보다 탁월할 수 밖에 없지 않겠는가?
2. 인간은 이성적인 동물이 아니다.
3. 논리라는 stationary motion(습관성 움직임)은 인간에게 애초에는 없다. 스스로 깨우쳐 습득하거나 교육 받아서 생기는 것.
4. 인지 감각기관의 stationary motion(습관성 움직임)을 바꾸면 인간은 변한다, 즉 인지 및 반응 태도가, 지속적인 교육 또는 충격으로(George Orwell의 '1984'에서처럼 공명에 의한 전자기파 충격 등으로)... 인지 감각 기관이 망가져 비정상적이 되거나 죽을 수도 있지만서도.

* 특수한 경우 일반화의 자연과학철학 방법 예 - 포앙카레와 파인만의 통찰(파인만 강의 I, 15-5,6)

* 꿈, 의식(conscience)(2019.12.25)

'... the motion of the electron in the atom as a harmonic oscillator which can be driven into oscillation by an external electric field...(파인만 강의 III, 17-10)

파인만 강의 II, Fig. 5–12.

이걸 읽고 언뜻 든 생각, 이 우주에는 그야말로 수많은 전자기장이 떠다닌다. 그 전자기장이 인간뇌를 자극한 것이 꿈, 인간뇌는 진동체들의 모임이니.

<의식>: 뇌 전체 내지 일부를 둘러싼 전도체가 형성됨으로써 떠돌이 전자기장들은 차단되어 눈, 코 등의 감각기관을 통한 자극만이 뇌에 전달되는 상태
<꿈>: 그 전도체 장벽이 사라짐으로써 전자기장이 뇌를 자극한 결과. 비슷한 논리로 무당의 접신은 전도체 장벽이 제거하고 특별한 공명의 파만 허용하는 것으로 볼 수 있음.

이 가설은 electrostatic의 경우, 속이 빈 전도체내에는 전자기장이 형성될 수 없다는 사실에(참조: 오른쪽 그림) 근거한다. 실제 환경이 엄밀한 eletrostaic은 아니지만, '...like the principle of “shielding” electrical equipment by placing it in a metal can'(파인만 강의 II, 5-9)라고 한 것을 보면 충분히 근사한 환경. (참조: It is safe to sit inside the high-voltage terminal of a million-volt Van de Graaff generator, without worrying about getting a shock— because of Gauss’ law)

<노화>: 생체에 침투•충격을 주는 수많은 미세입자(electromagnetic waves, 알파 감마 방사선, cosmic rays 등)들에 의해 생체조직 구조를 뒤틀리게 함으로써 서서히 망가지는 것(2020.3.3)
이 정의는 다음과 같은 사실들에 바탕을 둠.

(1) 총이나 차와의 충돌로 생체가 치명적 상해를 입고
(2) 알파 방사선에 의한 생체조직 파괴 그리고 X선에 의한 돌연변이, 즉 DNA 구조 변이 등
(3) 금속 등의 물질에 빛을 쪼이면 전자가 방출되는 광전효과(photoelectric effect), 즉 빛에 의하여 전자를 잃고 그 금속 구조에 결함 발생. => Topological view of a molecule에서 molecule을 전자들로 형성된 기계장치로 보는 관점과 어울린다.

외부로부터 오는 이러한 미세입자들을 막아낼 수 있다면, 노화 방지 또는 노화 속도를 줄일 수 있을 것. 무공 고수, 도인의 수명이 길고 반로환동의 얘기들은 운기행공(運氣行功)이 위에서 언급한 전도체막를 형성함으로써 전자파를 차단하는 역할의 결과일 수.

흐르는 물은 썩지 않는다.

* Basic Element of the Universe(2020.1.25)

물질의 기본입자 찾겠다는 인간의 염원은 1900년대 들어서 입자가속기로 소립자 쪼개는 경지에 도달했는데, 빛 입자(photon)의 정지 질량이 0이란다. 뉴트리노(neutrino)도 정지 질량이 0이라고 생각되었는데, 2015년 경 아니라는 근거가 발견되었단다.
쪼개고 쪼개고 더 이상 쪼개지 못하는 물질의 끝을 보겠다는 것이 하염없이 하늘만 쳐다보는 부질없는 짓 같다. 아래로 내려다 보는 global하게 접근해보는 건... 우주을 이루는 기본입자는 정지질량 0인 입자가 존재하고 그 입자들의 모임들에(uncountable 기본입자 set) 대한 measure의 존재, 각 set에 대한 measure가 질량? ...이이, 이황, 이기이원론...
정지와 움직임. 그 차이는? 끊임없이 움직이는 빛 기준???

<가설>: 에너지는, Brown이 발견한, 구조에 갇혀있는 기들의 움직임. 구조에 묶여있는 경우 질량에 더해지고 구조가 깨지면 에너지 발산, 즉 질량은 '기'들의 구조물 - 2020.3.20. 기계는 brown 운동을 structure로 통제하는 것 - 2023.6.18
근거가 되는 구조 변화와 에너지 추출/발산 예들,

1. 음식 섭취란 이로써 부수고 위산으로 녹이는 과정을 과정을 통해 에너지 흡수하는 것. ATP<=>ADP, 생명체는 다른 물질을 쪼개는 작업을 통해 에너지를 흡수 자신에게 저장, 구조 속에 가둬놓는 것.
2. 불꽃 피우는 것, 짧은 시간내의 연쇄적 핵분열, 마찰 등 구조를 파괴하는 과정에 의한 열 발생.
3. 회오리, 태풍도 대기 에너지를 저장하는 하나의 구조를 형성하고 그 구조가 깨지며 에너지는 흩어진다.

4. 구조 형성•해체, 쪼이기•풀어주기에 의한 열 흡수•발산(2020.9.9 보완)
(1) 자기장 세기 조절에 의한 구조 형성•해체(Cooling by adiabatic demagnetization, 파인만 강의 II, 35-6)
(2) 팽팽함(Tension) 조절, 즉 쪼이기•풀어주기(고무밴드의 팽창과 수축)

<생각거리들>
1. 위 2관련, 열역학 제2법칙, 즉 방출된 열에너지가 일할 수 있는 에너지로 환원하기 위해서는 구조가 필요하다. 그 구조를 만들기 위한 과정이(extra work) 필요하다는 것, 씨가 자라 꽃을 피우고 동물이 새끼를 낳고, 인간이 기계/폭탄을 만들듯이. 파인만 강의 I 44-5에서의 heat reservoir는 heat를 저장•발산할 준비된 구조물이어야 한다는 것.
2. 대기를 빨아들여 그 에너지 ='기'를 저장하는 방법이 단전호흡이고 단전은 그 기를 저장하는 장치 내지 장소. 기와 기를 모으는 구조형성이랄까? 그 중에 하나가 연공이고 빛의 입자가 정지한다는 건 기가 어딘가의 구조물에 갇힌다는 거.
3. 바둑에서 포석, 진법(陣法) 등

'기'의 정의: 세상을 구성하는 기본 물질로 운동하는 경우, '활기(活氣)'라고 부른다
'물질'의 정의: 기의 덩어리. => 각 물질은 measure와 속도를 갖는다
우주는 기들 그림이고 그 안의 규칙을 발견하려는 것이 인간의 과학.
가설: 이 세상은 '기'와 끊임없이 변화하는(ever-changing) 그들이 형성하는 '구조'로 이루어져 있다.(2020.3.13) 참조: 엔트로피, 에너지의 일반화 필요

* A Geometric Model of an Atom(particle/molecule) - 스핀 $j, z$ 축 성분에 대한 해석(2020.7.14-21)

물질의 기본 구성을 연구함에 있어,
뭉뚱그려 생각하는 동양과 달리, 잘게 쪼개 분석해온 서양은 물질들의 interaction을 pairwise로 접근(* 예)...
1. 그에 어울리는 plain 진동 모델로 전자기파 등 많은 현상을 설명해오다가 소립자 현상에 난관에 봉착, 실험 관측된 discrete 성격을 공리로 수용한 양자 역학을 발전시켰는데
2. 2024.2.1, 이는 기하 구조를 감안하지 못한 데에 기인한 것. 그 동안의 성공은 결과적으로 circular action 투사를 분석, 운이 좋았던 거
3. 여기 동양의 理氣론과 파인만 강의 전편에 흐르는 맥락과 어울리는 기하학적 모델을 제시한다

모델은 다음과 같은 사실들에 근거한다

(1) 입자 합성 법칙

(2) Structure 보존 법칙 : Let $M$ be a compact closed surface and $v$ : $M \rightarrow TM$ a smooth vector field with isolated zeros. The sum of the indices at the zeros equals the Euler characteristic of $M$.
* The missing link, 고전물리와 양자역학 연결하는(21.7.24)

(3) 정리. Every closed and connected surface is homeomorphic to one of the following:
① A sphere
② A connected sum of tori => Euler characteristic=$2-2g$, $g$ 토러스 갯수
③ A connected sum of projective planes

(4) 기 저장: 소용돌이, 회오리

(5) 구를 $z$ 축을 중심으로 회전시키는 경우, 북극 남극 제로점과 각각의 winding number가 생기듯이, 어떤 축에 대한 winding number의 2배에 해당하는 지표가 발생한다.

(6) $\omega_p=g\,\frac{q}{2m}$, 즉, 자기장내에서 세차 운동하는 입자의 세차 각속도와 입자가 흡수하는 에너지의 진동수와 같다는 것(2020.9.18), 에너지란? 발산하지 못하고 맴돌든가... 흩어지지 못하고 한정된 구간에 갇혀있는 거(21.3.13) -파인만 강의 II, 35-3

(7) 2-dimensional compact surface로 표현될 수 있는 생물학적 분자(A Toplogical View of a Molecule along Free Electrons Trajectories)

* 인간이 일상 생활에서 겪는 대부분 현상은 디스크리트. 헌데 갈릴레이 관성 법칙, 제논의 역설에 대한 이론으로 등장한 lim 극한 개념으로 연속, 미적분 발달로 책상앞에서 다루기 쉬운 연속 함수들을 주로 취급해왔다가 다시 실제 경험으로 통해 디스크리트 세상으로 돌아온 듯. 프리에 전환, 컴퓨터를 보라 (미해결) Schrodinger 방정식 관련 파인만 강의 III, 19
2021.3.8: 자연스러운 Schrodinger 방정식 유도(파인만 강의 III, 섹션 16의 4), 참조: $PV=\frac2{3}U$ 유도

* 빛의 속도보다 빠른 질량은 없다(2020.2.14)

마이켈슨 몰리 실험에 대한 파인만 설명에 의하면, 지구 절대 속도 측정을 빛으로 측정하고자 했다, 실패했지만. 그 실패에 대한 해결책으로 로렌쯔 전환이 고안되었고 그로부터 빛보다 빠른 물질이 없다는 생각이 나옴. 관련 설명들이 관측자 중심, 즉 빛으로 전달되는 정보에 의존한다는 것.
이런 것들이 빛보다 빠른 물질이 없다는 증명이 될 수 없다. 인간이 관측할 수 없는 물질이 있다면, 현재 인간이 만든 측정기로 잡아낼 수나 있을까? 인간이 만든 기기는 전기로 전달되고 그 속도는 빛의 속도 이하인데...

수정해야 한다... 빛보다 빠른 것이 존재하고 위에 언급한 우주의 기본물질, 꿈, 의식과 관련이 있을 수 밖에 없다고.

(1) group 아닌 phase velocity는 빛 속도를 넘는다는 수학적 결과
①'This phase velocity, for the case of x-rays in glass, is greater than the speed of light in vacuum (since n in 48.12 is less than 1), and that is a bit bothersome, because we do not think we can send signals faster than the speed of light!'(파인만 강의 I, 48-6)
시그날(grouping)... observable 관찰대상, generic, 인간의 감각기관/기기의 탐지한계, 페이스(phase)는 인간의 6감에(six sense) 해당되나? 뭔가 덩어리진 것들이 인지될 수 있다는 건가? 즉 물질은 덩어리 진거? 또 다른 예,
② 'In many circumstances we are not interested in the energy at any specific moment during the oscillation; for a large number of applications we merely want the average of A², the mean of the square of A over a period of time large compared with the period of oscillation.'(파인만 강의 I, 24-1)
에너지는 질량이라고 하지만, 질량이 온전히 에너지화되는 것은 불가능하다고 본다, 쪼개지는 횟수는 countable이고 모두 빛화된다는 가정하에. $E=m_0c^2$의 유도과정을 보면 에너지 증가부분에 대한 것.- 2020.2.15

(2) 뉴튼의 운동법칙에서 아인슈타인이 수정한 것은 제2법칙의 'measurable' 질량 \begin{equation} m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{equation}
* 질량이 속도와 관련있다는 것은 운동량 보존 법칙으로부터 예견된 일

(3) 결론:
'기' measure 0 또는 a nonmeasurable set of '기'는 빛의 속도를 능가할 수 있다. - 2020.7.24

*Principles of Algebraic Geometry(Griffiths, Harris) 해설 내려받기 + 덤

1989년 경인가에 뭘 할까하며 해설을 붙였다, 책의 반 정도를.
누군가 공감하는 말을 했다, '수학/과학 책을 보면 켕기고 겁나는 문구가 easy to see 또는 easily verified'라고. 젠장! 나는 금방 안 보이는 데, 저자는 그렇단다. 하여 특히 그런 부분들과 애매한 부분들에 대해 증명 또는 설명을 곁들였다.

% 내려받기 => Algebraic Geometry

(끄적대다 만 것들)A few of problem solutions
문제풀이 => Hungerford Algebra, Rudin Real&Complex Analysis

=> Riemann 논문의 영문 번역 작업 - 2019.11.25( => 계기)

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